Dans un premier temps, nous cherchons classiquement à transformer l’équation (via une « translation » sur la variable initiale) pour faire disparaître le terme en «  ». Nous constatons alors que l’équation se ramène facilement à une équation bicarrée …

 

 

 

On fait apparaître le début du développement d’une puissance quatrième :

 

 

 

L’équation initiale équivaut donc à l’équation (bicarrée en  ) :

 

 

 

Posons alors : . On est ainsi ramené à l’équation du second degré :

 

 

 

Le discriminant associé s’écrit :

 

 

 

Les deux racines complexes conjuguées de cette équation s’écrivent alors :

 

 et  

 

Le changement de variable effectué précédemment nous conduit alors à résoudre les équations :

 

 et  

 

Cherchons les racines complexes de  sous la forme  (avec x et y réels) :

 

 

 

La deuxième égalité nous donne :  et la première se récrit alors : .

Soit : .

 

Posons  (réel positif) et considérons l’équation : .

 

Le discriminant associé s’écrit : .

 

Les solutions de cette équation s’écrivent alors :

 

 et  

 

Comme on cherche des solutions réelles positives, on ne retient que la deuxième solution.

 

On doit alors résoudre  qui donne immédiatement  ou .

 

Comme , on a :

 

• Pour
  
  ,
  
   ;
• Pour
  
  ,
  
  .

 

Les racines complexes de  sont donc :  et .

 

Comme  et  sont conjugués, on déduit immédiatement de ce qui précède que les racines complexes de  sont les conjugués des deux complexes que nous venons d’obtenir :  et .

 

Il nous faut donc résoudre :

 

 

 

 

 

 

On obtient finalement les quatre racines suivantes :