Fiche PanaMaths (Terminale S)
Croissances comparées
Ce que vous devez connaître ou savoir-faire pour aborder ce cours
Les principales règles de calcul des limites
de fonctions ;
Les fonctions logarithme népérien et
exponentielle.
Ce que vous devez retenir
1. Les limites en :
Pour n entier naturel non nul :
On dit que « toute puissance entière (naturelle) l’emporte sur le logarithme népérien ».
En fait, on retiendra : ,
la limite ci-dessus en découlant immédiatement.
Pour n entier naturel :
On dit que « l’exponentielle l’emporte sur toute puissance (naturelle) ».
On remarque que le résultat reste valable lorsque la puissance est négative (mais dans ce cas, on n’a plus affaire à une forme indéterminée …)..
On retiendra :
En :
· L’exponentielle croît plus vite que toute puissance ;
· Toute puissance croît plus vite que le logarithme népérien.
2. La limite en (n entier naturel) :
On retiendra :
En l’exponentielle décroît plus vite que toute
puissance.
3. La limite en 0 (n entier naturel non nul) :
En fait, on retiendra : ,
la limite ci-dessus en découlant immédiatement.
Ce que vous devez savoir faire
Il est important de savoir se ramener à l’une des situations mentionnées ci-dessus !
Exemple 1
Considérons la fonction f
définie sur par :
.
On demande :
.
Pour tout x réel non nul, on a :
L’idée directrice de la démarche ci-dessus est de faire
apparaître au dénominateur une puissance de l’argument ( ) de l’exponentielle.
Posons : .
On a alors : .
Or ,
d’où :
Finalement :
Exemple 2
Considérons la fonction f
définie sur par :
.
On demande :
.
Pour tout x réel strictement positif, on a :
Or, on a : et
.
Finalement :
Ce à quoi vous devez faire particulièrement attention !
On prendra garde de ne pas confondre les résultats valables
en et ceux valables en
!